Tienes un mundo de opciones para hace eso:
 
1.- Cargar una nueva página con el formulario avanzado (tener busqueda.php y busqueda_avanzada.php) 
2.- Sin tener que cargar de nuevo la página, ASP no te va a servir de mucho. Necesitarás un script "client side" con javascript o cosa similar. 
Se me ocurren un par de opciones:
2.1.- Meter el formulario en un div y empleando "ajax" puedes cambiar dinámicamente el contenido de ese div, cargando el formulario avanzado. (Explicar esto se escapa de esta respuesta. Visita 
este enlace para empezar)
2.2.- Más sencillo. Tener dos div, uno con cada formulario, llamados "form1" y "form2". Inicialmente el "form2"(que es el avanzado) tiene como estilo display="none".
Un pequeño script del tipo  
Código:
 function avanzado(){
  window.document.getElementById("form1").style.display="none";
  window.document.getElementById("form2").style.display="block";
}
function simple(){
  window.document.getElementById("form1").style.display="block";
  window.document.getElementById("form2").style.display="none";
}
  te va a permitir mostrar uno u otro con enlaces del tipo  
Código:
 <a href="javascript: avanzado();">Busqueda avanzada</a>
<a href="javascript: simple();">Busqueda normal</a>