Veras, yo tambien tengo un foro phpbb. Hasta hace unos dias lo tenia en miarroba y ahora lo he movido a un hosting de pago,
www.forodetodo.com. El caso es que he intentado hacer lo que tu querias hacer y al final lo he dejado y como estaba solo provisional, pues lo he vuelto a hacer de 0. Efectivamente con la opcion de backup puedes sacar una copia en pantalla o archivo. Ese archivo contiene toda la informacion para crear la base de datos con sus tablas y datos. Lo que tienes que hacer es irte al nuevo hosting, instalar phpbb y un poco mas abajo de donde hiciste la copia de seguridad en el menu de administrador, hay una opcion que es para recuperar una copia, ahi es donde entra tu archivo phpbb_db_backup.sql, el cual se lo tendras que indicar para que lo restaure. El unico problema que me dio y por eso lo hice de 0 es que las contraseña al estar encripatadas todos los usuarios tendrian que solicitar una nueva contraseña, que se les mandaria por correo. Por eso no me ha interesado. Pero si tienes un volumen considerable de post, si te interesa que los usuarios soliciten la contraseña por correo, aunque existe un problema y es que el hosting que hayas escogido no tenga activado el servidor smtp como es el caso de Miarroba. Espero haberte servido de ayuda.