si mysql es un software de base de datos es gratuito y puedes bajarlo de la pagina oficial:
http://www.mysql.com
si usas windows, puedes ir a inicio->ejecutar-> ingresas command y se te abrira una consola de DOS y ahi es donde pones:
c:\>mysql -help
ahora sobre appserv hay muchos otros como el xampp o phptriad ambos son paquetes que contienen ya configurado un servidor para funcionar juntos un servidor apache, mysql y php y algunas otras cosas dependiendo de cual elijas usar, es una buena manera de iniciarte en programacion de paginas web con uso de bases de datos, pero es tambien recomendable que sepas configurarlo cada uno de estos paquetes (apache, mysql, php).
Sobre MySQL y SQL, MySQL es un motor de base de datos que soporta el standar SQL 92 (si es que no me equivoco), que quiero decir es un standar definido para trabajar consultas a bases de datos SQL es acronimo de Standar Query Language, que seria en espanol lenguaje estandar de consultas, en realidad es la base para cualquier motor de base de datos que quieras usar ya sea MySQL, PostgreSQL (Libres) o SQL Server, Oracle (Licenciados) todos soportan este lenguaje y cada uno tiene otros lenguajes extras, como PL/SQL para Oracle y PostgreSQL cada uno con sus propias versiones. son cosas que poco a poco iras aprendiendo.
Espero haber respondido todas tus consultas basicas, ahora para usar MySQL puedes hacerlo desde una consola de DOS o tambien con interfaces graficas, como mysql front, SQLYog, Navicat, y muchos mas que hay para manejar mysql y hacer mas facil su uso, cya