En la consulta sacas tres vencimientos, por ejemplo, para un determinado cliente. Los concatenas en la variable $body y luego de salir del while envías el correo.
Código PHP:
<?php
$result = mysql_query("SELECT servicio, vencimiento FROM $row[0] WHERE vencimiento between '$fecha_actual' and '$fecha_futura'", $link);
$body="Han vencido los siguientes servicios: ";
while($row=mysql_fetch_assoc($result)) {
$body.=$row['vencimiento'];
}
mail ("$correo","$subject","$body",$email_header);
?>