Puedes crear el botón (o enlace), y que en un archivo diferente genere el password, y luego, mediante GET o POST (el post ya sería con javascript) enviar (mediante un header*) la información para recogerla en la casilla (value="$_GET['password_generado'] si usas GET claro).
Otra opción, sería usar AJAX, que existe un foro por aquí en FDW dedicado a ello.
* Un header parecido a esto:
Código PHP:
<?php
header ("Location: ".$_SERVER['HTTP_REFERER']);
?>