En la legislación española, e imagino que en la todo el mundo, tienen plena validez los contratos verbales (incluso en los contratos de trabajo, aunque tu caso sea un contrato de prestación de servicios). No obstante pueden existir determinados contratos que la ley exija que sean por escrito, aunque me da a mí que no es tu caso.
Ver el
artículo 1279 del código civil español.
Dicho lo cual, solo queda por probar que se celebró un contrato verbal entre vosotros (cruce de emails, bocetos entregados, proyecto en funcionamiento después de 2 años, ...y en general cualquier otra prueba admitida en derecho).
Salu2 y suerte.