Hola:
Si el botón es de tipo submit, la página se va a recargar, y entonces deberías usar el lenguaje del servidor que tengas...
<input type="text" name="dato" value="<?=$_POST["dato"]; ?>"...
Tal vez no quieras usar un botón submit, entonces deberías ponerlo de tipo button:
<button type="button"...
Saludos
