Hola:
Es que no hay más de lo que puse... tan solo crea una página nueva con la recepción de las variables junto con la instrucción mail() y el mensaje de agradecimiento (el else de tu página), y el formulario en una página que incluso podría ser un html... tal vez también te interese poner un temporizador para cerrar el popup.
El secreto está en abrir una ventana en blanco con el mismo nombre que haya en el target del formulario usando el evento de envío (onsubmit)... al menos intentalo...
Saludos
