Código javascript
:
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<head>
<title></title>
<body>
<script type="text/javascript">
var MAX = 10;
var num_aleatorio = Math.round(Math.random()*(MAX));
document.write(num_aleatorio);
 
opcion=prompt ("El siguiente numero será mayor o menor?(OPCIONES: mayor O menor)","");
 
var num_aleatorio2 = Math.round(Math.random()*(MAX));
 
if(opcion=="mayor")
{
    if(num_aleatorio>num_aleatorio2){
        alert("ACERTASTE!!\n El numero: " + num_aleatorio + " es mas grande que: " + num_aleatorio2 + "");
    }
    else {
        alert("FALLASTE!!!!\n El numero: " + num_aleatorio + " es mas pequeño que: " + num_aleatorio2 + "");
    }
}
 
else if(opcion=="menor"){
    if(num_aleatorio<num_aleatorio2){
        alert("ACERTASTE!!\n El numero: " + num_aleatorio + " es mas pequeño que: " + num_aleatorio2 + "");
    }
    else {
        alert("FALLASTE!!!!\n El numero: " + num_aleatorio + " es mas grande que: " + num_aleatorio2 + "");
    }
}
else {
    alert("ERROR SINTAXYS!!!\n OPCIONES: mayor O menor");
}
 
 
 
 
 
</script>
</body>
</html>
  
Ahí lo tienes. 
Estabas generando mal el número, deberías hacerlo sólo una vez antes de las preguntas. Y también estabas comparando mal las condiciones. Preguntabas si 
, esa sería una comparación del tipo variable a variable. Para hacer una comparación por una cadena de caracteres, el valor tiene que ir entre comillas, por ejemplo: 
Espero te sirva. 
Saludos