Usa tu phpMyadmin q seguro q usas para crear tus BD ... exporta los datos (estructura y datos) ... eso te generará un archivo .sql con las instrucciones de SQL de Mysql listas para llevartelo a otra Msyql y ejecutarlo como un SQL culaquiera solo q desde un archivo externo .. (usando phpMyadmin si así lo disponen como gestor de BD Msyql en el servicios de Hosting q migrees .. o cualquier otro gestor de Mysql ..)
Sobre Hosting para Mysql ..
Solo Mysql tienes por ejemplo
www.freesql.org (si acepta nuevas cuentas
)
Y PHP+Mysql ...
Lycos, iespana.com (creo q da soporte Mysql) .. y alguno mas (usa google y veras q salen muchos )
Eso a nivel "free" .. si es de pago .. Cualquiera .
Un saludo,