Un problema bastante básico es que, al menos en el codigo que has puesto, no te conectas a la base mySQL
Código PHP:
Ver original<?php
$user = $_POST['usuari'];
$llibre = $_POST['llibre'];
$update = "UPDATE prestec SET vuelta='Si' WHERE titol='".$llibre."' AND soci='".$user."'";
header("Location: private.php"); ?>
Si no es error de esto tiene que ser de las comillas.