He probado a añadir el JScrollPane de esta manera:
  
Código:
 campoTextoServidor = new JTextArea(4,30);
campoTextoServidor.setEditable(true);
campoTextoServidor.add(new JScrollPane(campoTextoServidor));
  Pero no funciona.
También he probado lo que me has dicho 
alexg88 pero me da error al hacerlo tanto así:  
Como así:  
Código:
 campoTextoServidor.contentPane.add(scroll);
  Decir, por si sirve de info, que el JTextArea lo estoy metiendo dentro de un GridLayout. 
EDITADO: 
Ya encontré el problema. Como dije, el JTextArea lo estoy metiendo dentro de un GridLayout y lo que tenía que hacer era lo siguiente:  
Código:
 panel.add(campoTextoServidor);
panel.add(new JScrollPane(campoTextoServidor));