Reference Manual:
Cita: tee [file_name], \T [file_name]
By using the --tee option when you invoke mysql, you can log statements and their output. All the data displayed on the screen is appended into a given file. This can be very useful for debugging purposes also. mysql flushes results to the file after each statement, just before it prints its next prompt. Tee functionality works only in interactive mode.
You can enable this feature interactively with the tee command. Without a parameter, the previous file is used. The tee file can be disabled with the notee command. Executing tee again re-enables logging.
No es exactamente que registre sesiones...
Hace un dump a un archivo plano de TODO lo que se ejecute, así como sus resultados, a nivel CONSOLA de MySQL.
Basicamente, va volcando el history de ejecuciones en la consola MySQL hacia ese archivo. Pero para poder realizar tal acción el user utilizado debe sí o si tener permisos de FILE,los cuales son independientes de los permisos de escritura que tengas en Linux. Técnicamente no es el user de Linux el que escribe, sino que lo hace MySQL. Pero en MySQL se administra el permiso en otra capa más, por lo que tener permisos en Linux no los hace heredar al user de MySQL utilizado para acceder a sus recursos.
¿Se entiende?