Mover un sitio de un servidor a otro sin perder ningun dato?

[Mexicano]

hola, como veran, soy nuevo en el foro, bueno en realidad les leo con frecuencia, pero apenas hoy me acabo de registrar, y eso se debe a que tengo una duda acerca de como realizar un backup desde el CPanel y luego colocarlo en otro servidor...

En realidad lo que pasa es que tenia contratado unos planes de hosting (3 para ser especificos) con una empresa, pero tambien tengo otros 2 mas con otra empresa, entonces, en vista de que la empresa donde tengo los 2 sitios hospedados me parece mejor, quiero realizar una migracion de un servidor a otro

y pues para eso, voy a la opcion Backup del CPanel y doy click en la opcion Full Backups y luego selecciono que el backup lo coloque en el Home Directory

Hasta ahi todo va bien, pero luego bajo el archivo generado, y luego me meto a otro dominio (para probar, ya que no quiero perder ninguna cuenta de correo ni nada) y me voy a la opcion Backup y en el campo Restore a Home Backup busco el archivo bajado a mi disco duro y le doy un Upload, luego de que se hace el Upload, me aparece una lista de los archivos y/o directorios y/o configuracion que se encontraron

Ahora, luego me voy al panel de control donde hice el Upload y no veo ningun cambio, tambien voy a checar si en el dominio (que antes no tenia nada) ya se actulizo los datos obtenidos del Backup pero nada

Entonces mi duda es que estoy haciendo mal?

O acaso despues de hacer el Backup, tengo que cambiar las DNS que me apunten al nuevo servidor y despues tengo que hacer el upload del respaldo pero exactamente para el mismo dominio?

Lo que anterior lo hice (para probar si me iba a salir bien) usando dos dominios distintos uno en cada servidor... pero no vi que haya pasado nada.

Alguien me puede hechar una manita y aclararme como realizar correctamente el translado de un sitio (archivos, BDs, Correos, etc) a otro sitio sin perder nada?

Gracias, les estare enteramente agradecidos

Comentarles que uso el Cpanel en ambos servidores y ambos estan bajo linux